Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло — это математический метод для моделирования событий с неопределенной вероятностью. Суть метода состоит в проведении большого количества экспериментов, которые имитируют события в рамках заданной вероятности. Например, поведение покупателей или курс валюты.

Название напрямую связано с казино «Монте-Карло» в Монако. Метод использует числа для имитации случайных событий. А рулетка в казино является самым известным генератором случайных чисел.

Метод Монте-Карло применяют для прогнозирования или анализа сложных задач, в которых результат зависит от случайных процессов. Их трудно, а иногда и невозможно рассчитать. Намного легче и быстрее создать простую математическую модель и провести серию экспериментов на компьютере.

Метод Монте-Карло помогает рассчитать вероятность события, наступление которого зависит от случайных событий. Например, вероятность выигрыша в игре «Кости». Если игрок выбрасывает кубики с одинаковыми числами, то казино выплачивает ему 4 рубля. Ставка за бросок равна 1 рублю. У игрока есть 1000 рублей, он сделает 1000 бросков. Проведем симуляцию методом Монте-Карло 10 000 раз. На графике отражены результаты всех экспериментов. Большая часть линий опускается ниже отметки 1000 рублей, То есть с большей вероятностью игрок потеряет деньги, а казино останется в выигрыше

Где применяют моделирование методом Монте-Карло

Одно из главных преимуществ метода Монте-Карло — возможность применения для решения самых разных задач. Его используют в финансовой сфере, в науке, в инженерии, при разработке компьютерных игр. 

В бизнесе и маркетинге вероятностное моделирование используют для составления прогнозов и принятия решений в условиях неопределенности. 

Метод Монте-Карло помогает:

• прогнозировать спрос, объем продаж, среднюю доходность;
• оценить рентабельность затрат на рекламу и маркетинг;
• эффективно распределять бюджет и прогнозировать результаты рекламных кампаний;
• оптимизировать бизнес-процессы, прогнозировать сроки завершения проекта, повысить эффективность распределения ресурсов;
• проанализировать риски при выводе на рынок нового продукта,  разработке маркетинговой стратегии или бизнес-плана;
• рассчитать риски инвестиционной стратегии, сформировать оптимальный инвестиционный портфель.

Принцип работы метода Монте-Карло

В основе метода Монте-Карло лежит идея: чтобы узнать вероятность какого-либо события, нужно сделать много «попыток» и посчитать результат. 

В пакете находятся конфеты трех цветов: красного, желтого и зеленого. Их распределение по цветам в пачке неизвестно.

Чтобы узнать, какова вероятность достать из пачки три одинаковые по цвету конфеты, нужно много раз провести эксперимент. Доставать конфеты и смотреть, каких они цветов. В результате мы получим такие данные: из 1000 экспериментов успешных, то есть с тремя одинаковыми конфетами, 10. То есть вероятность такого события 1%.

Доставать конфеты или проводить расчеты вручную  — долго и утомительно. Поэтому метод приобрел популярность после изобретения компьютеров. Большие вычислительные мощности позволяют быстро обрабатывать сложные математические модели. Вместо проведения живого эксперимента можно найти формулу, которая описывает процесс, и провести несколько тысяч симуляций. Во время каждого эксперимента в формуле меняются вероятностные величины, поэтому результат всегда получается разный.

Метод не дает точных и окончательных вариантов или оценок. Он показывает лишь количество и распределение вероятности наступления событий.

Результатом моделирования методом Монте-Карло является набор данных. Каждая ячейка — это расчет по формуле с переменной, которая принимает случайное значение. Таких строк в таблице более тысячи. Чтобы составить прогноз или принять решение, необходимо проанализировать результаты. Например, рассчитать вероятность успеха или размер ожидаемой прибыли

Решение задачи методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло предполагает проведение случайных экспериментов. Рассмотрим на простом примере пошаговое решение задачи.

Сформулируйте цель. Определите, что именно нужно посчитать. Вычислить оптимальную ставку на аукционе, установить размер бюджета рекламной кампании, спрогнозировать прибыль.

Найдите формулу, которая описывает процесс. Если вы ранее не занимались математическим моделированием, этот этап покажется сложным. Математическая формула отражает взаимодействия между процессами и вероятность наступления событий. 

Чтобы составить формулу, необходимо знать основы статистики, обладать навыками вероятностного моделирования и понимать сущность бизнес-процессов, которые необходимо описать.

Рассмотрим самый простой пример — прогнозирование дневной выручки. Сделаем расчет в Excel. Для этого нам понадобятся следующие данные:

• средний чек = 3 000 рублей;
• среднее отклонение (насколько минимальный и максимальный чек обычно отличается от среднего) = 1000 рублей;
• количество потенциальных покупателей в день = от 0 до 10 человек.

Количество реальных покупателей в конкретном эксперименте генерируется случайным образом

По указанным формулам можно рассчитать вероятность неопределенных событий: количество клиентов и сумму покупки. При расчете мы опираемся на два факта: размер среднего чека и количество потенциальных покупателей. Эти данные берут из истории продаж.

Проведите вычисления. В строке «ИТОГО» указывается сумма дневной выручки для данного эксперимента или симуляции. При проведении каждого следующего расчета данные в таблице будут меняться, так как в формулах учитываются случайные события.

Обратите внимание, что в таблице меняются значения. Во время моделирования значение случайных событий (количество покупателей и сумма покупки) — разное при каждом варианте расчета, что влияет на конечный результат

Проведем расчет для прогнозирования продаж в следующие 10 дней. Результаты проведенных симуляций представлены в таблице ниже. В столбцах — день продажи. В строках — размер выручки. В синей строке представлено среднее значение — то есть наиболее вероятный размер выручки за этот день.

Чем больше строк в таблице, то есть чем больше проведено экспериментов, тем точнее будет результат

Проанализируйте результат. Полученные данные помогают, например, спрогнозировать среднюю выручку проекта, сделать выводы о рентабельности, оценить риски и принимать более обоснованные бизнес-решения.

Плюсы и минусы метода Монте-Карло

Моделирование методом Монте-Карло имеет ряд преимуществ по сравнению с другими инструментами прогнозирования:

• гибкий и универсальный, подходит для решения широкого круга задач;
• позволяет учитывать влияние случайных событий;
• доступный — чтобы провести моделирование простого процесса достаточно Excel-таблицы.

Минусы метода:

• для более сложных моделей с большим количеством переменных нужны высокие вычислительные мощности, Excel будет недостаточно;
• зависимость вычислений от генератора случайных чисел,  вероятность искажения результатов;
• необходимость большого объема данных, которые учитываются при моделировании;
• сложность интерпретации, метод не дает однозначного результата, а только показывает вероятности событий.

Главные мысли