Чтобы начать пользоваться новой учетной записью в App Store, необходимо выйти из старой: App Store → клик на иконку учетной записи в правом верхнем углу → клик на имя пользователя → Выйти (эта кнопка находится в самом низу).
Потом нужно снова открыть App Store, нажать на иконку профиля и выбрать опцию «Вход с аккаунтом Apple». В открывшемся окне кликнуть «Не *название прежнего аккаунта*?» и авторизоваться с данными нового Apple ID. Также может потребоваться указать нужный регион в настройках App Store (который совпадает со страной дополнительной учетной записи). При желании или необходимости всегда можно вернуться на основной аккаунт через выход из дополнительного.
Также есть вариант выйти из старого профиля и зайти в новый через настройки iPhone: Настройки → клик на имя пользователя → Контент и покупки → Выйти. Затем надо снова кликнуть на «Контент и покупки», выбрать опцию «Не *название прежнего аккаунта*?» и авторизоваться под новой учетной записью.
Все эти действия касаются работы Apple ID только внутри системы App Store. Учетная запись на самом телефоне останется прежней.